Задачі із застосуванням графіку похідної для дослідження функції

Перш ніж розглядати запропоновані практичні вправи, варто повторити геометричний зміст похідної. Задачі із застосуванням графіку похідної для дослідження функції, потребують знання геометричного змісту похідної.

Задачі із застосуванням графіку похідної для дослідження функції

Завдання 1.

Розв’язання

Звернемо увагу на те, що на рисунку зображено графік похідної а, не графік самої функції, отже для того, щоб відповісти на запитання, ми повинні згадати, що функція спадає на проміжку, якщо похідна на цьому проміжку менше за нуль. Тобто нас цікавитиме кількість проміжків, на яких похідна приймає вфд’ємні значення.

у даному випадку це один проміжок: [m;n]

Відповідь: А) 1.

Завдання 2.

Розв’язання.

Враховуючи геометричний зміст похідної, проаналізуємо її графік. Для того, щоб функція мала в точці мінімум, потрібно, щоб в цій точці її похідна змінила знак з “-” на “+”, тобо ліворуч від точки функція повинна спадати, а праворуч зростати. Маємо одну таку точку: -3.

геом зміст похідної 2

Відповідь: А) -3

Завдання 3.

Розв’язання.

Критичними називаємо внутрішні точки області визначення, в яких похідна дорівнює нулю, або не існує. Дотична до графіка в таких точках паралельна осі абсцис. На графіку функції у вказаному проміжку три таких точки.

Відповідь: а) 3

Завдання 4.

Як уже було вказано у другому завданні, ми повинні знайти точки на графіку похідної, в яких поіхдна змінює знак з мінуса на плюс. такими є точки : – 6 та 2. Вони і є точками мінімуму функції.

Відповідь: Г ) -6; 2

Завдання 5.

Розв’язання.

Скористуємося ознаками зростання та спадання функції. Точка х1 належить проміжку зростання функції, отже похідна в цій точці додатна, відповідно точка х2 належить проміжку спадання, тобто похідна від’ємна. Додатне число завжди більше за від’ємне, отже правильна відповідь: В

Відповідь: В

Завдання 6.

Розв’язання.

Для розв’язання задачі знайдемо кутовий коефіцієнт прямої в, виразивши у через х : у = 2х + 3. Оскільки прямі а та в паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні, отже кутовий коефіцієнт прямої а дорівнює 2. Відповідно до геометричного змісту похідної маємо:

f’ ( x0 ) = k= 2

ВІдповідь: Б ) 2.

Завдання 7.

Розв’язання.

Проміжку зростання функції належить точка -2, отже f'(-2)>0. Точка 1 належить проміжку спадання, отже f'(1)<0. В точці 2 маємо критичну точку, тобто f'(2)=0. Маємо правильну відповідь: Г

ВІдповідь: Г.

Завдання 8.

Розв’язання.

Нагадаємо, що похідна додатна на проміжку, де функція зростає, дорівнює нулю – у критичних точках, тобто точках екстремуму чи перегину. В даному випадку таким умовам відповідає відповідь Б.

Відповідь: Б

Завдання 9.

Розв’язання.

Функція зростає, якщо похідна додатня. На рисунку графіка похідної бачимо, що вона приймає додатні значення на проміжках: [-6; -3], [2;3].

Відповідь: Б.

Перевочні тести на засвоєння матеріалу за посиланням:

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.