Пропонуємо для самоперевірки розв’язання та відповіді до завдань практичної роботи з теми:

Параметри у рівняннях та системах рівнянь

Завдання було опубліковано раніше за пропонованим посиланням, продублюємо текст завдання.

Завдання 1.

Враховуємо, що квадратне рівняння має хоча б один корінь, за умови, коли дискримінант є невід’ємним числом. Проаналізуємо його:

Бачимо, що вираз є невід’ємним при довільних значеннях а та в.

Але варто розглянути той випадок, коли в=0, тоді рівняння матиме вигляд: – ах -а=0. При а=0 маємо безліч розв’язків, в інших випадках: х=-1, тобто корінь є завжди.

Що і треба було довести.

Завдання 2.

Відповідно до теореми Вієта сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, отже маємо:

Прирівнявши вираз, протилежний другому коефіцієнту до числа -6, знайдемо значення а=2 та а=3.

При а=2, рівняння матиме дійсні корені, при а=3 рівняння дійсних коренів не матиме, бо дискримінант дорівнює нулю.

Відповідь: 2.

Завдання 3.

Врахуємо, що система лінійних рівнянь має безліч розв’язків, якщо коефіцієнти при змінних та вільні члени рівнянь будуть пропорційні:

Склавши пропорцію із коефіцієнтів при змінних, отримаємо значення а=6, та а=-6. Підставимо їх у вільні члени, отримаємо пропорційність усіх коефіцієнтів лише при а =6.

Відповідь: а=6

Завдання 4.

Система лінійних рівнянь не має розв’язків, якщо коефіцієнти при змінних пропорційні. але їх відношення не дорівнює вільном у члену. Перевіримо виконання цих умов:

Відповідь: а=-4

Завдання 5.

Дана функція визначена на множині дійсних чисел за умови, коли підкореневий вираз приймає невід’ємні значення при довільних значеннях х, тобто маємо квадратичну нерівність, що здійснюється при довільних дійсних значеннях змінної:

Розглянемо варіанти, коли старший коефіцієнт дорівнює нулю та більше за нуль, відповідно дискримінант приймає відповідно від’ємні, додатні та нульові значення. Узагальнюючи результати маємо відповідь: [ 3;8]. Якщо а-3<0, то а<3, то вираз може лише дорівнювати нулю при а=3, а=8, жодне із цих значень не задовольняє умову: а<3.

Відповідь: [3;8]

Завдання 6.

Для дослідження кількості розв’язків рівняння побудуємо графік функції у=|x+4| – |x-2| та у= а. Для побудови першого графіку розкриємо модулі та спростимо вираз:

Досліджуючи графіки на кількість точок перетину маємо таку відповідь:

якщо а > 6, а < -6, то розв’язків немає;

якщо а= – 6, а= 6, – безліч розв’язків;

якщо -6 < а <6 , то маємо один розв’язок.