У цій публікації ми розглянемо приклади розв’язання окремих завдань НМТ 2023, що містять параметри у квадратних рівняннях. Для початку радимо повторити основні властивості розв’язування квадратних рівнянь, опубліковані на сайті “Еврика” за даним посиланням:
Квадратні рівнянняПри розв’язуванні завдань із параметрами ми можемо застосовувати як аналітичні так і графічні методи. У даній публікації розглянемо аналітичні методи, що спираються на аналіз коренів квадратного рівняння, знайдених за загальною формулою через дискримінант, а також будемо застосовувати теорему Вієта.
Отже розглянемо типові завдання, які пропонувалися під час проведення НМТ 2023. Параметри у квадратних рівняннях – найбільш типова тема.
1.Вкажіть найменше ціле значення параметра а, за якого корені рівняння додатні:
Розв’язання.
Скористаємося тим, що відповідно до теореми Вієта добуток коренів дорівнює вільному члену, а отже він додатній; сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком. Отже маємо систему нерівностей, яку розв’язуємо:
Отже найменше ціле значення параметра: – 3.
Відповідь: -3
2. Визначте додатнє значення m, за якого один з коренів рівняння на 4 більше за інший:
Розв’язання.
Скористаємося теоремою Вієта, попередньо замінивши корені рівняння на змінні t та (t+4):
Відповідь: 6
3. Визначте цілі значення а, за яких корені рівняння
задовольняють умову:
Розв’язання.
Знайдемо корені рівняння за загальною формулою через дискримінант, потім складемо систему нерівностей, що описує умову задачі:
ВІдповідь: –1;0;1;2
4. Визначте значення а, за якого корені рівняння
є протилежними числами, якщо таких значень декілька, у відповідь запишить їх суму.
Розв’язання.
Для початку спростимо рівняння, згрупувавши доданки, що містять х, отримаємо зведеного рівняння:
Враховуючи те, що корені рівняння є протилежними числами, то другий коефіцієнт буде дорівнювати нулю, а вільний член є добутком цих чисел.
Отже маємо:
Умові задачі відповідає значення а=-5
ВІдповідь: – 5
5. За якого найбільшого значення а обидва корені рівняння
більші за 1?
Розв’язання.
Відповідь: 5
У 4 завданні помилка
Дякую, передивлюся.
Вибачте, не бачу помилки.
Помилка в завданні 3. Правильна відповідь: -1;0;1;2
Так, Ви маєте рацію, є помилка виправлю
У третьому рівнянні помилка 2а+5<1 = a<-2
Проблема в іншому, вже побачила : а> -2, тоді -2 не є розв’язком, дякую.