Параметри у квадратних рівняннях. НМТ 2023.

У цій публікації ми розглянемо приклади розв’язання окремих завдань НМТ 2023, що містять параметри у квадратних рівняннях. Для початку радимо повторити основні властивості розв’язування квадратних рівнянь, опубліковані на сайті “Еврика” за даним посиланням:

Квадратні рівняння

При розв’язуванні завдань із параметрами ми можемо застосовувати як аналітичні так і графічні методи. У даній публікації розглянемо аналітичні методи, що спираються на аналіз коренів квадратного рівняння, знайдених за загальною формулою через дискримінант, а також будемо застосовувати теорему Вієта.

Отже розглянемо типові завдання, які пропонувалися під час проведення НМТ 2023. Параметри у квадратних рівняннях – найбільш типова тема.

1.Вкажіть найменше ціле значення параметра а, за якого корені рівняння додатні:

Розв’язання.

Скористаємося тим, що відповідно до теореми Вієта добуток коренів дорівнює вільному члену, а отже він додатній; сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком. Отже маємо систему нерівностей, яку розв’язуємо:

Отже найменше ціле значення параметра: – 3.

Відповідь: -3

2. Визначте додатнє значення m, за якого один з коренів рівняння на 4 більше за інший:

Розв’язання.

Скористаємося теоремою Вієта, попередньо замінивши корені рівняння на змінні t та (t+4):

Задача 2

Відповідь: 6

3. Визначте цілі значення а, за яких корені рівняння

задовольняють умову:

Розв’язання.

Знайдемо корені рівняння за загальною формулою через дискримінант, потім складемо систему нерівностей, що описує умову задачі:

Параметри 3

ВІдповідь: –1;0;1;2

4. Визначте значення а, за якого корені рівняння

є протилежними числами, якщо таких значень декілька, у відповідь запишить їх суму.

Розв’язання.

Для початку спростимо рівняння, згрупувавши доданки, що містять х, отримаємо зведеного рівняння:

Враховуючи те, що корені рівняння є протилежними числами, то другий коефіцієнт буде дорівнювати нулю, а вільний член є добутком цих чисел.

Отже маємо:

Задача 4

Умові задачі відповідає значення а=-5

ВІдповідь: – 5

5. За якого найбільшого значення а обидва корені рівняння

більші за 1?

Розв’язання.

Задача 5

Відповідь: 5

7 коментарів до “Параметри у квадратних рівняннях. НМТ 2023.”

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.