Основні задачі на застосування теореми синусів та теореми косинусів у структурі ЗНО спираються на знаходження невідомих елементів трикутника, оцінку вида трикутника за його кутами, застосування наслідків з теореми синусів та косинусів.
У публікації “Трикутник. Основні формули та співвідношення ” надано теоретичний матеріал.
Розглянемо найпростіші практичні завдання:
- Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см та 2 см, а кут між ними – 120°. Знайдіть третю сторону.
Розв’язання
Застосовуючи теорему косинусів маємо:
a2=9+4-12 cos120°;
a2=9+4+12 cos60°= 13+6=19, а=√19 см
Відповідь: √19 см
2. Два кути трикутника дорівнюють 60° і 45°, а сторона, яка лежить проти меншого з кутів дорівнює 8√2 см. Знайдіть сторону трикутника, яка лежить проти більшого кута.
Розв’язання
Застосовуючи теорему синусів , визначаємо відношення:
8√2/sin45°= x/sin60°, застосовуючи основну властивість пропорції знайдемо: х:
х=(8√2 sin60°)/sin45°=8√3 см
Відповідь: 8√3 см
3. Обчисліть радіус кола, яке описане навколо трикутника АВС, сторона якого дорівнює 5см, а протилежний кут 60°.
Розв’язання
Застосуємо теорему синусів:
2R=b/sinß, 2R=5/sin60°, R=5/√3 =5√3/3(cм)
Відповідь: 5√3/3
4. Визначте вид трикутника, сторони якого дорівнюють 0,3 см, 0,5 см, 0,7 см.
Розв’язання:
4. Оскільки за наслідком з теореми синусів проти більшого кута трикутника лежить більша сторона, то варто визначити знак косинуса більшого кута, який лежить проти сторони 0,7 см щоб зробити висновок про вид трикутника.
Розв’язання
З теореми косинусів маємо:
cosß=(a2+c2-b2)/2ac,
cosß=(0,32+0,52-0,72)/2*0,3*0,5<0, отже кут ß – тупий, трикутник тупокутний
5. Діагоналі паралелограма дорівнюють 18 см та 26 см відповідно, а одна зі сторін паралелограма на 10 см більше за другу. Знайдіть сторони паралелограма.
Розв’язання
З наслідку з теореми косинусів слідує, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.
Для самостійного опрацювання пропонується практична робота. Вона може стати у нагоді і вчителям при проведенні узагальнення за темою.
