Основні теоретичні положення, що стосуються поняття первісної та невизначеного інтегралу, а також таблиця первісних, нами розглядалися у публікації “Первісна та її властивості. Невизначений інтеграл”. Зараз наша задача – розглянути основні види практичних завдань, що можуть бути пов’язані із поняттям первісної.
Завдання 1
Встановити відповідність між функціями f(x) та їх первісними F(x):
1. f(x)=cos0,25x +sin4x A F(x) =sin0,25x-cos4x +C
2. f(x) =cos4x +sin0,25x B F(x) =4sin0,25x-4cos0,25x+C
3. f(x) =0,25cos0,25x +4sin4x C F(x) =sin4x-cos0,25x+C
4. f(x) =4cos4x +0,25sin0,25x D F(x) =0,25sin4x-4cos0,25x +C
E F(x) =4sin0,25x-0,25cos4x +C
Враховуючи правила знаходження первісної складної функції, маємо такі правильні відповідності:
1 – E; 2 – D; 3 – A; 4 – C
Завдання 2
Для функції у=4х3-2х-3 знайдіть первісну, графік якої проходить через точку: А(-1;-3).
Розв’язання
Знайдемо загальний вигляд первісної функції у=4х3-2х-3:
F(x)= х4-х2-3x+C.
Підставимо замість F(x) значення ординати точки А, замість x – значення абсциси:
-3=(-1)4-(-1)2-3(-1)+С;
С=-3-3;
С=-6;
F(x)= х4-х2-3x-6.
Відповідь: F(x)= х4-х2-3x-5.
Завдання 3.
Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t)=6t-t2 (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом від початку руху до його зупинки.
Розв’язання
Знайдемо, час, коли зупиниться тіло. Швидкість у цей момент дорівнює нулю.
Отже для початку розв’яжемо рівняння:
6t-t2 =0;
t (6-t)=0;
t=0 або 6-t=0;
t=0 або t=6.
Тобто тіло зупиниться через 6 секунд після початку руху.
Знайдемо загальний вигляд первісної функції та шукану відстань, використовуючи формулу: S= S(6)-S(0):
S(t)=3t2– t3/3 +C;
S(0)=0, S(6)=3*36-216:3=108-72=36(м).
Відповідь: 36м
Більш складні завдання розглянемо у наступних публікацііях.
Мені здайється тут помилка: первісна від у=4х^3-2х-3 буде F(x)= х^4-х^2-3x+C
Дякую, виправила.
допоможіть розвязати V(t)=4t+t2 t1=1c t2=3c знайти S-?
Візьміть інтеграл від v(t) на проміжку від 1 до 3, це й буде шукане значення S
-3=(-1)4-(-1)2-2(-1)+С; в цій строчці здаеться є помилка у {
-2*(-1) }. Так як у прикладі вище стоїть 3, а не 2.
Так, Ви праві=) Виправила, вдячна за уважну роботу із матеріалом сайту=)
допоможть знайти первісну з 2/х^2
-4/x^3
А первісну для у=2|x| як знайти? допоможете? Зарані дякую.
Розбити на випадки, коли х від’ємне, та х додатнє
Як знайти загальний вигляд первісної – f(x)=sin5x
F(x)=-1/5 cos5x
F(x)=2+4x-3x^2
A(2,4)
Поможіть будь ласка
F(x)=2x+2x^2-x^3+c,
4=2*2+2*4-8+C,
C=0,
F(x)=2x+2x^2-x^3.
f(x)= 12x^2 (1+x)
M ( 1; 4)
розкрити дужки та працювати як із степеневою функцією
Допоможіть знайти первісну для функції у=2|х|. Поясніть як, будь ласка. Дякую
Варто шукати первісну на проміжках х>0, тоді у=2х, первісна x^2; та х<0, тоді у=-2х, первісна -x^2
допоможіть будь-ласка.
п/4
f(x^10 sin3x + cos x/3 + tg^11 x)dx
-п/3
тут спеціальні методи на межами шкільної програми, великий обсяг роботи
f（x）＝(x-2)²
F（x）＝((x-2)^3)/3
знайдіть первісну для функції f(x)=sin²5x
переведіть синус до косинуса, використавши за основними тригонометричними тотожностями, потім понизьте степінь за формулами пониження степеня – далі за звичним алгоритмом
Допоможіть знайти первісну cos²x/3
cos²x/3=1/2(1-cos2x/3), тоді первісна дорівнюватиме: 1/2х-3/4sin2x/3
Будь ласка, поясніть задачку:
Перевірте, що функція F(x)=(x-2)/(3x-1) є первісною функції f(x)=5 / (3x-1)^2 на кожному з проміжків (-~; 1/3) i (1/3; +~), та запишіть загальний вигляд первісних функції f на кожному з указаних проміжків.
Потрібно взяти похідну від функції, F(x)=(x-2)/(3x-1). Якщо вона співпадає із заданою, то і є її первісною. Загальний вигляд буде: F(x)=(x-2)/(3x-1)+С
Допоможіть розвязати
1.Знайдіть загальний вигляд первісної для функції :
f(x)=12x+5
6x^2+5x+C
Допоможіть розвязати
1.Знайдіть загальний вигляд первісної для функції :
y=1/x^4
y=1/x^4=x^(-4),
тоді F(x)=-4x^(-5) +C
Відомо, що F(x)=x^3+1. Знайти функцію F(x)
Ну тут просто за правилом знаходження первісної степеня. До речі, варто б розібратися, що дано, що знайти. F(x)_ позначення первісної, а f(x)- позначення початкової функції.
Доброго вечора! Потрібна допомога у розв’язанні такого завдання:
Функцію f(x)=-3x^2-2x+6 задано на множині дійсних чисел. Графік її первісної проходить через точку А (0; 6). Знайти добуток нулів первісної поданої функції.
Доброго дня. Структура відповіді: а) знайти загальний вигляд первісної
F(x)=-x^3-x^2+6x+C; б) підставити координати точки А: 6=0+С;
в) записати остаточне рівняння шуканої первісної:F(x)=-x^3-x^2+6x+6;
г)знайти нулі даної функції, розв’язавши рівняння:
-x^3-x^2+6x+6=0
Потім перемножити отримані корені
Знайдіть будь ласка первісну для функції;
у=sin3x
Дякую
1/3cos3x+C
помогите пожалуйста,я запуталась
Швидкiсть руху матерiальноï точки задана рiвнянням v(t) = 3t² + 2t – 1. Знайти шлях, пройдений точкою за 10 с вiд початку руху.
Знаходимо первісну S= t^3 + 2 t^2 – t +C, S(10)- S(0)= 1000+200 – 10=1190 , можна так само через інтеграл