Визначений інтеграл. Обчислення площ (Практичні завдання)

У попередніх публікаціях розглянуто поняття визначеного інтеграла та наведено обгрунтування знаходження площ за його допомогою. Розглянемо декілька прикладів практичного застосування та завдання для самоперевірки. 

У публікації “Визначений інтеграл. Обчислення площі і об’ємів. (Теорія)” наведено приклади обчислення площ криволінійних трапецій на заданому проміжку.

Розглянемо складніші випадки, коли фігура, обмежена графіками функцій f(x)  та  g(x),  що перетинаються в точках з абсцисами a і  b, причому f(x) > g(x) на проміжку [a;b].

Наприклад, потрібно знайти площу фігури обмеженої графіками функцій: y=x2-2x+2  та  y= 2+6x- x2 .

Для розв’язання будемо дотримуватися  певного алгоритму дій.

  1. Побудуємо в одній системі координат графіки заданих функцій.
  2. Знайдемо межі інтегрування ( абсциси точок перетину графіків). Для цього прирівняємо праві частини рівнянь, що задають функції. Отримаємо рівняння відносно змінної х, розв’яжемо його, відповідно менше значення буде нижньою межею, а більше – верхнею межею інтегрування.
  3. Визначимо за графіком, яка з функцій приймає більші значення на заданому проміжку (обмежує фігуру згори), а яка – менші значення (обмежує знизу). Відповідно до цього складаємо підінтегральний вираз.

Отже розв’язання нашої задачі матиме такий вигляд:

Визначений інтеграл. Обчислення площ. (практичні завдання)

 

Розглянемо ще декілька цікавих завдань.

Розглянемо ще декілька цікавих завдань. Пропонуємо розв’язати їх спочатку самостійно, а потім перевірити правильність розв’язання за поданими нижче матеріалами:

1)     y=x2;   y=2-x;

2)     y=-x2+2x+1;   y=x2-4x+5;

3)     y=x2+2x+2;   y=6-x2;

4)     y=7/x;   x+y=8;   y=8-x;

5)     y=5/x;   x+y=6;  y=6-x.

6)     y=5/x;   y=4x+1;  x=2

Розв’язання

Визначений інтеграл. Обчислення площ

 

Визначений інтеграл. Обчислення площ

 

Визначений інтеграл. Обчислення площ

 

 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.