Первісна та її застосування (Практичні завдання)

Основні теоретичні положення,  що стосуються поняття первісної та невизначеного інтегралу, а також таблиця первісних, нами розглядалися у публікації “Первісна та її властивості. Невизначений інтеграл”. Зараз наша задача – розглянути основні види практичних завдань, що можуть бути пов’язані із поняттям первісної.

 Завдання 1

Встановити відповідність між функціями f(x) та їх первісними F(x):

1. f(x)=cos0,25x +sin4x                       A     F(x) =sin0,25x-cos4x +C

2. f(x) =cos4x +sin0,25x                      B      F(x) =4sin0,25x-4cos0,25x+C

3. f(x) =0,25cos0,25x +4sin4x         C     F(x) =sin4x-cos0,25x+C

4. f(x) =4cos4x +0,25sin0,25x         D     F(x) =0,25sin4x-4cos0,25x +C

E    F(x) =4sin0,25x-0,25cos4x +C

Враховуючи правила знаходження первісної складної функції, маємо такі правильні відповідності:

1 –  E; 2 – D;  3 – A; 4 – C

Завдання 2 

Для функції у=4х3-2х-3 знайдіть первісну, графік якої проходить через точку: А(-1;-3).

Розв’язання

Знайдемо загальний вигляд первісної функції у=4х3-2х-3:

F(x)= х42-3x+C.

Підставимо замість F(x) значення ординати точки А, замість x – значення абсциси:

-3=(-1)4-(-1)2-2(-1)+С;

С=-3-2;

С=-5;

F(x)= х42-3x-5.

Відповідь: F(x)= х42-3x-5.

Завдання 3.

Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t)=6t-t2  (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом від початку руху до його зупинки.

Розв’язання

Знайдемо, час, коли зупиниться тіло. Швидкість у цей момент дорівнює нулю.

Отже для початку розв’яжемо рівняння:

6t-t2 =0;

t (6-t)=0;

t=0  або  6-t=0;

t=0  або  t=6.

Тобто тіло зупиниться через 6 секунд після початку руху.

Знайдемо загальний вигляд первісної функції та шукану відстань, використовуючи формулу: S= S(6)-S(0):

S(t)=3t2– t3/3 +C;

S(0)=0, S(6)=3*36-216:3=108-72=36(м).

Відповідь: 36м

Більш складні завдання розглянемо у наступних публікацііях.

 

34 коментарі до “Первісна та її застосування (Практичні завдання)”

  1. Допоможіть знайти первісну для функції у=2|х|. Поясніть як, будь ласка. Дякую

    1. Варто шукати первісну на проміжках х>0, тоді у=2х, первісна x^2; та х<0, тоді у=-2х, первісна -x^2

    1. переведіть синус до косинуса, використавши за основними тригонометричними тотожностями, потім понизьте степінь за формулами пониження степеня – далі за звичним алгоритмом

  2. Будь ласка, поясніть задачку:
    Перевірте, що функція F(x)=(x-2)/(3x-1) є первісною функції f(x)=5 / (3x-1)^2 на кожному з проміжків (-~; 1/3) i (1/3; +~), та запишіть загальний вигляд первісних функції f на кожному з указаних проміжків.

    1. Потрібно взяти похідну від функції, F(x)=(x-2)/(3x-1). Якщо вона співпадає із заданою, то і є її первісною. Загальний вигляд буде: F(x)=(x-2)/(3x-1)+С

  3. Допоможіть розвязати
    1.Знайдіть загальний вигляд первісної для функції :
    f(x)=12x+5

  4. Допоможіть розвязати
    1.Знайдіть загальний вигляд первісної для функції :
    y=1/x^4

    1. Ну тут просто за правилом знаходження первісної степеня. До речі, варто б розібратися, що дано, що знайти. F(x)_ позначення первісної, а f(x)- позначення початкової функції.

  5. Доброго вечора! Потрібна допомога у розв’язанні такого завдання:
    Функцію f(x)=-3x^2-2x+6 задано на множині дійсних чисел. Графік її первісної проходить через точку А (0; 6). Знайти добуток нулів первісної поданої функції.

    1. Доброго дня. Структура відповіді: а) знайти загальний вигляд первісної
      F(x)=-x^3-x^2+6x+C; б) підставити координати точки А: 6=0+С;
      в) записати остаточне рівняння шуканої первісної:F(x)=-x^3-x^2+6x+6;
      г)знайти нулі даної функції, розв’язавши рівняння:
      -x^3-x^2+6x+6=0
      Потім перемножити отримані корені

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.