Середнє арифметичне кількох чисел вивчається, починаючи вже з п’ятого класу. Але у цій публікації ми розглянемо не лише задачі на знаходження середнього значення вибірки, але й інші варіанти завдань, які пропонувалися під час тестів з математики, зокрема і під час НМТ, що потребують розуміння і застосування цього поняття.
Безперечно, варто розпочати з означення середнього арифметичного певної вибірки:
Розглянемо зразки розв’язання завдань на застосування поняття середнього значення вибірки
Задача 1. Студентка протягом семестру отримала 45 оцінок, серед яких 7 п’ятірок, 22 четвірки та 16 трійок. Обчислити середній бал студентки.
Розв’язання
Для розв’язання цієї задачі просто скористаємося поняттям середнього значення вибірки, а саме:
(7*5+22*4+16*3):45=3,8
ВІдповідь: 3,8
Задача 2. Телефонна компанія хоче дізнатися про середню кількість телефонних дзвінків, які робить людина упродовж доби. Для цього проаналізовані дані спостережень за 100 абонентами. Знайдіть середню кількість дзвінків, скориставшись даними діаграми
Розв’язання
(0*14+1*0+2*5+3*10+4*10+5*12+6*15+7*14+8*8+9*8+10*3+11*1):100=505:100=5,05
ВІдповідь: 5 дзвінків
Задача 3. Середній вік родини, яка складається з двох батьків і дев’яти дітей, дорівнює 12 років. Який середній вік батьків, якщо середній вік дітей – 6 років?
Розв’язання
- Знайдемо загальну суму віку усієї родини. Для цього помножимо середній вік 12 на кількість членів родини 11 (9+2=11). Маємо 132.
- Тепер знайдемо загальну суму віку дітей: 6*9= 54.
- Тоді сума віку двох батьків становить: 132-54=78, а їх середній вік : 78:2=39.
- Відповідь: 39
Задача 4. Одинадцятикласники ліцею писали контрольну роботу з математики за єдиними тестами незалежно від профілю начання. Виявилося, що середній бал учнів фізичного профілю дорівнює 8,9 бали, економічного – 7,7, а філологічного – 7, 1. Оцініть середній бал учнів цієї школи з математики, якщо відомо, що у класі фізичного профілю навчається 23 учнів, економічного – 25, а у двох класах філологічного профілю по 23 учні.
Розв’язання.
Для розв’язання задачі спочатку ми повинні обрахувати загальну суму балів для учнів кожного профілю:
Фізичний: 8,9*23=204,7
Економічний: 7,7 * 25=192,5
Філологічний: 7,1* 46=326,6
Щобю знайти середній бал знайдемо загальну суму балів (204,7+192,5+326,6) та поділимо на загальну кількість одинадцятикласників у ліцеї (23+25+46):
723,8:94=7,7.
Відповідь: 7,7
Задача 5.
Розв’язання
Сергій купив 4 чорні, 6 червоних, n синіх ручок по 27 грн, 15 грн, 10 грн кожна. Середня ціна однієї купленої ручки виявилася меншою за 13 грн. Укажіть найменше можливе значення n.
Розв’язання
Середня ціна однієї ручки менша за 13, маємо нерівність:
(4*27+6*15+n*10)/(4+6+n)<13;
(198+10n)/(10+n)<13;
(198+10n-130-13n)/(10+n)<0;
(68-3n)/(10+n)<0
Застосуємо метод інтервалів, враховуючи, що n>0, отримаємо:
n >=68/3; n=22.
Відповідь: 22.
Задача 6. Середнє арифметичне вибірки, що має 20 елементів, дорівнює 15,5. З цієх вибірки вилучають числа: 4;6;13 та 27. Обчисліть середнє значення нової вибірки з 16 елементів.
Розв’язання
Обчислимо загальну суму початковї вибірки: 15, 5*20=310
Загальна сума нової вибірки з 16 елементів дорівнюватиме:
310-(4+6+13+27)= 260.
Її середнє значення: 260:16=16,25
ВІдповідь: 16,25
Задача 7.
На діаграмі наведено відвідуваність сеансу одного фільму в кінотеатрі протягом 6 робочих днів. На скільки відсотків кількість глядачів на найбільш відвідуваному сеансі перевищує середню кількість глядачів за ці 6 днів.
Розв’язання
Середнє арифметичне відвідуваності сеансів за тиждень:
(130+160+200+170+210+180)/6=175
Найбільш відвідуваний сеанс був у п’ятницю, кінотеатр відвідало 210 глядачів, що більше за середню кількість на 210-175 = 35.
Знайдемо відсоток: 35/175 * 100%=20%
Відповідь: 20%
Запропонуємо ще декілька цікавих завдань на властивості середніх.