На множині векторів задамо наступні операції: додавання, віднімання, множення на число, скалярний добуток. Інші операції над векторами вивчаються у вищій математиці.

Основні означення і поняття, пов’язані з векторами надано у публікації: ” Вектори. Означення та основні поняття”

Сумою двох векторів є вектор, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат доданків.

Наприклад: а(2;4;-1)+в(-3;1;0)=с(-1;5;-1).

Геометрично два вектори додаються правилами трикутника і паралелограма.

У першому випадку другий вектор відкладається від кінця першого. Сумою векторів буде вектор, початок якого знаходиться у початку першого, а кінець у початку другого вектора.

При додаванні векторів правилом паралелограма вони відкладаються від однієї точки. Сумою векторів буде діагональ паралелограма, побудованого на ціх векторах, що починається з їх спільного початку.

Для того, щоб відняти вектори, їх відкладають від спільної точки. Різницею буде вектор, що сполучає їх кінці і має напрям до зменшуваного.

 

Нагадаємо, що вектори позначаються однією буквою, чи двома за назвою початку і кінця, над буквою ставиться значок вектора чи риска,  для того,  щоб відрізняти векторну величину від скалярної.

А саме:

На жаль в текстовому редакторі сайта немає такої функції, отже вектри виділяємо кольором.

Щоб відняти від вектора а вектор в, потрібно відповідно додати до а вектор, протилежний в.

Координати протилежних векторів відрізняються лише знаками.

Нехай задано вектор в (2;0;-5), тоді протилежний йому вектор –в матиме координати: (-2;0;-5).

 а ( 6;8;-3) – в (2;0;-5)=(6;8;-3)+(-2;0;5)=(4;8;2).

Для того, щоб помножити вектор на число, потрібно кожну його координату помножити на число.

Якщо  а( 6;8;-3) , то 5а =(30;40;-15), -2а=(-12;-16;6).

При множенні вектора на число ми отримуємо вектор, колінеарний даному. Звідси і ознака колінеарності векторів, заданих координатами.

“Якщо координати векторів пропорційні, то вектори колінеарні.”

Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків їх координат.

Наприклад, добутком векторів  а ( 6;8;-3) і в (2;0;-5) є число с=6*2+8*0+(-3)*(-5)=27.

Скалярний добуток векторів безпосередньо залежить від довжин векторів та величини кута між ними. Має місце залежність:

“Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.” 

Оскільки косинус прямого кута дорівнює 0, то маємо ознаку перпендикулярності векторів, заданих координатами.

Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.