Для учнів 10 класу з метою повторення навчального матеріалу зі стереометрії пропонується практикум із розв’язування задач.

Паралельність прямих та площин у просторі.

1. Знайти площу осьового перерізу кубу, якщо площа його поверхні 96см²
2. Через кінець відрізка АМ проведено площину a, через точку М та точку В, що лежить на відрізку проведено паралельні прямі, що перетинають площину a в точках М₁ і В₁ відповідно. В₁В=12см, АВ:ВМ=1:3. Знайдіть М₁М.
3. Точки А.В,С,К не лежать в одній площині. Довести, що середини відрізків, які їх сполучають є вершинами паралелограму.
4. Площина паралельна стороні АВ трикутника АВС перетинає сторони СА і СВ у точках А₁ і В₁ відповідно. СА₁: А₁A=2:5. Знайти АВ, якщо А₁В₁ =8см.
5. Відрізок МК не перетинає площину a, через точки М, К та середину відрізка точку А проведено паралельні прямі, які перетинають площину a у точках М₁, К₁ ,А₁ відповідно. Знайти довжину відрізка АА₁, якщо ММ₁ = 12см, КК_1, = 8см.
6. Довести, що сторона трикутника паралельна площині, що проходить через середини двох інших сторін.
7. Дві паралельні площини a і a₁ перетинають сторони кута А в точках В,В₁ та С,С₁ відповідно. ВС=4см, АС:СС₁ = 2:5, ВВ₁ =10см. Знайти В₁ С_1, АВ.
8. В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат з площею 36 см². Побудуйте переріз піраміди площиною, паралельною основі, що проходить через середину бічного ребра. Знайдіть периметр утвореного перерізу.

Перепендикулярність прямих та площин

9. Кінці відрізка, довжина якого 12см, належать двом перпендикулярним площинам. Відстані від кінців відрізка до площин 6см, і 6√2 см. Обчисліть кути, утворені цим відрізком з площинами.

10.Точка простору рівновіддалена від вершин рівностороннього трикутника з периметром 12см. Обчисліть відстань від точки до вершин, якщо відстань від точки до площини – 6см.

11.Точка простору рівновіддалена від сторін квадрата з площею 36см². Обчисліть відстань від точки до сторін квадрата, якщо відстань від точки до площини квадрата 4см.

12.Основа рівнобедреного трикутника – 8см, а бічна сторона – 5см. Через вершину трикутника, перпендикулярно до його площини проведено вiдрiзок довжиною 10 см. Обчисліть відстані від кінців перпендикуляра до основи трикутника.

13. Квадрат АВСД є ортогональною проекцією прямокутника АВМК. Обчисліть кут між площинами АВС і АВМ, якщо площа АВСД – 16 см², МВ=4√2 см.

14.Кут між площинами трикутника та його ортогональної проекції на іншу площину – 45°. Обчислити площу проекції, якщо площа трикутника 28√2 см^2.

15.Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну з його сторін, є рівнобедрений трикутник з бічною стороною 3√13 см. Сторона правильного трикутника дорівнює 12см. Обчисліть кут між площинами трикутників.

Метод координат

16. Знайти довжину медіани МК трикутника АВМ, якщо А(-2;7;-2), В(4;5;1), М(0;1;-1).
17. Дано вектори: k(-4;1;p), m(2;p;0,25) . При якому значенні p вектори: а) перпендикулярні; б) колінеарні.

18. Знайдіть кут С трикутника АВС, заданого координатами його вершин А(1;1;0), В(2;-1;3), С(4;1;1).
19. Знайти(2a-b)(a+3b) , якщо ⌊a⌊=5,  ⌊b⌊=2, ∠(a;b)=60°.
20. Знайти координати четвертої вершини паралелограму АВСК, якщо А(-2;3;-5), В(4; 3;6), С(6;5;7).