Однією з цікавих властивостей бісектриси кута трикутника, про яку інколи забувають абітурієнти, є поділ сторони на відрізки пропорційні бічним сторонам.
На даному малюнку наведено й доведення цієї властивості.
Отже, теорема:
“Бісектриса кута трикутника ділить сторону. до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам.”
Тобто: АD:DC=AB:BC
Розглянемо задачу:
У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки 20 см і 12 см. Обчислити периметр трикутника.
Розв’язання.
Оскільки катет ділиться бісектрисою на відрізки 20см та 12 см, то довжина гіпотенузи відноситься до довжини іншого катета як 20:12=5:3. Нехай гіпотенуза АВ=5к, катет ВС=3к, складемо рівняння за теоремою Піфагора:
25k2=9k2+322
к=8, 5к=40, 3к=24.
Отже Р=24+40+32=96(см)
Наступні задачі для розв’язання пропонуються у публікації:
“Бісектриса трикутника, висота прямокутного трикутника. Д.З. Курси 13.10”
тут допущена ошибка ВС= 24см, а не 12см. И от этого меняется риметр не 84см, а 96см.
Так, дякую. Виправила
А звідки взялося 5:3?
Оскільки катет ділиться бісектрисою на відрізки 20см та 12 см, то довжина гіпотенузи відноситься до довжини іншого катета як 20:12=5:3
Знайшли відношення за теоремою Фалеса: «бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні прилеглим до нього сторонам. А отже ВК:АК = ВС:КС звідси слідує АК:СК = ВА : ВС (ВК – бісектриса). Далі підставляємо відомі цифри: ВА:ВС = 20:12. Виходить відношення ВА:ВС = 5:3. І тому ВА = 5х, а ВС = 3х