Для введення тригонометричних функцій числового аргументу розглянемо тригонометричне коло з радіусом 1 та центром у початку координат. На колі задамо вісь координат, початок відліку її буде у точці (1;0), додатній напрямок визначатимемо проти годинникової стрілки.
Будь-якій точці В(х;у) на колі буде відповідати деяке число α , що виражається у радіаннній мірі відповідного центрального кута α .
1 радіан – центральний кут, що відповідає дузі, яка має довжину один радіус. Півкола дорівнює π, а повне коло – 2π.
Синусом числа α називається ордината точки В(х;у) одиничного кола : sinα = y
Косинусом числа α називається абсциса точки В(х;у) одиничного кола : cosα = x
Тангенсом числа α називається відношення ординати точки В(х;у) до її абсциси: tg α= sinα/cosα
Котангенсом числа α називається відношення абсциси точки В(х;у) до її ординати α: ctg α= cosα/sinα
Основні тригонометричні тотожності:
Значення тригонометричних функцій для основних аргументів
Наведемо декілька прикладів завдань
Завдання 1 (2010 р.)
Спростити вираз: (1– cos2x)tg2x.
(1– cos2x)tg2x = sin2x tg2x= sin4x/cos2x
Відповідь: sin4x/cos2x.
Завдання 2 (2008р)
(1+ tg2x) cos2x = cos2x+tg2x cos2x= cos2x +sin2x=1
Відповідь: 1.
Завдання 3 (2009 р.)
Обчисліть: cos x, якщо sin x=0,8, π/2 <x<π.
Розв’язання
sin x=0,8, cos2x +sin2x=1, отже cos2x=1- sin2x,
cos2x=1- 0,64, cos2x=0,36, cos x=0,6 або cos x=-0,6.
Оскільки аргумент належить другій чверті (π/2 <x<π), то
cos x<0, cos x=-0,6.
Відповідь: cos x=-0,6.
Завдання 4 (2008р.)
Знайдіть значення виразу: (4 sin x– cos x)/( cos x+4 sin x), якщо ctgx=1/3
Розв’язання
Поділимо чисельник і знаменник дробу на sin x. Оскільки ctgx=1/3, то sin x не приймає значення нуль.
Отримаємо: (4 – ctgx)/( ctgx +4)=11/3:13/3=11/13
Відповідь: 11/13
Шановна Математика абітурієнту ,
У мене є деякі зауваження щодо статті Тригонометричні функції числового аргументу
1) Чому початок відліку вісі координат буде мати (1;0) , а не просто 0(оскільки це вісь )
2)Не зрозуміло , додатній напрямок чого визначатиметься проти годинникової стрілки
3)Чому півкола -п, а повне коло -2п
4)Чому ординату позначено через х, а абсцису через у, хоча на малюнку навпаки
5) 1 приклад має правильне розв’язання щодо tg, а не ctg
6)2 приклад щодо tg , а приклад з ctg
7)Чи можна останній приклад розв’язати іншим способом :ctg=cos/sin=1/3, sin=3cos, а потім замінити всі синуси в прикладі на 3 cos , я отримала таку ж відповідь , як на сайті
З повагою , спасибі за Вашу допомогу абітурієнтам
Доброго дня, відповідаю по порядку.
1) У прямокутній системі координат задається дві осі – вертикальна – ОУ, горизонтальна – ОХ. Третю вісь ми вводимо саме на тригонометричному колі, причому початок відліку (О) визначаємо у точці перетину кола з віссю абсцис, вона має координату (1;0).
2) Додатній напрямок на введеній осі координат, що лежить на колі, визначається проти годинникової стрілки від початкової точки на вісі абсцис.
3) Півкола відповідають куту 180 градусів, або п радіан, відповідне повне коло – 2п радіан.
4) -6) Що до цих питань, Ви маєте рацію, тут помилки, виправила, дякую=).
7) Звичайно, можна дати і Ваш варіант.
Ще раз дякую за підказку, інколи при наборі виникають помилки
4 завдання
cos x на sin x буде tg x, а не ctg x
i в умові теж треба змінити ctg x на tg x
умова та розв’язання правильні. За умови заміни, яку Ви пропонуєте ми отримаємо іншу умову та відповідно інше розв’язання із врахуванням того, що tgx= sinx/cosx, a ctgx=cosx/sin x. Подивіться уважно.