Тригонометричні функції числового аргументу ( 10A)

Для введення тригонометричних функцій числового аргументу розглянемо тригонометричне коло з радіусом 1 та центром у початку координат.  На колі задамо вісь координат, початок відліку її буде у точці (1;0), додатній напрямок визначатимемо проти годинникової стрілки. 

Будь-якій точці В(х;у) на колі буде відповідати деяке число α , що виражається у радіаннній мірі відповідного центрального кута α . 

Тригонометричні функції. Коло

1 радіан – центральний кут, що відповідає дузі, яка має довжину один радіус. Півкола дорівнює π, а повне коло – 2π.

Синусом числа α називається ордината точки В(х;у) одиничного кола :                                   sinα = y

Косинусом числа α називається абсциса точки В(х;у) одиничного кола :                                     cosα = x

Тангенсом числа α називається відношення ординати точки В(х;у) до її абсциси                   tg α= sinα/cosα

Котангенсом числа α називається відношення абсциси точки В(х;у) до її ординати   α:            ctg α= cosα/sinα

Основні тригонометричні тотожності:

Основні тригонометричні тотожності

Значення тригонометричних функцій для основних аргументів

Тригонометричні функції. Значення Наведемо декілька прикладів завдань

Завдання 1 (2010 р.)

Спростити вираз: (1– cos2x)tg2x.

(1– cos2x)tg2x = sin2x tg2x= sin4x/cos2x

Відповідь: sin4x/cos2x.

Завдання 2 (2008р)

(1+ tg2x) cos2x = cos2x+tg2x cos2x= cos2x +sin2x=1

Відповідь: 1.

Завдання 3 (2009 р.)

Обчисліть: cos x, якщо sin x=0,8, π/2 <x<π.

Розв’язання

sin x=0,8, cos2x +sin2x=1, отже cos2x=1- sin2x,

cos2x=1- 0,64, cos2x=0,36, cos x=0,6 або cos x=-0,6.

Оскільки аргумент належить другій чверті /2 <x<π), то  

cos x<0, cos x=-0,6.

Відповідь: cos x=-0,6.

Завдання 4 (2008р.)

Знайдіть значення виразу: (4 sin xcos x)/( cos x+4 sin x), якщо ctgx=1/3

Розв’язання

Поділимо чисельник і знаменник дробу на sin x. Оскільки ctgx=1/3, то sin x не приймає значення нуль.

Отримаємо: (4ctgx)/( ctgx +4)=11/3:13/3=11/13

Відповідь: 11/13

4 коментарі до “Тригонометричні функції числового аргументу ( 10A)”

  1. Шановна Математика абітурієнту ,
    У мене є деякі зауваження щодо статті Тригонометричні функції числового аргументу
    1) Чому початок відліку вісі координат буде мати (1;0) , а не просто 0(оскільки це вісь )
    2)Не зрозуміло , додатній напрямок чого визначатиметься проти годинникової стрілки
    3)Чому півкола -п, а повне коло -2п
    4)Чому ординату позначено через х, а абсцису через у, хоча на малюнку навпаки
    5) 1 приклад має правильне розв’язання щодо tg, а не ctg
    6)2 приклад щодо tg , а приклад з ctg
    7)Чи можна останній приклад розв’язати іншим способом :ctg=cos/sin=1/3, sin=3cos, а потім замінити всі синуси в прикладі на 3 cos , я отримала таку ж відповідь , як на сайті
    З повагою , спасибі за Вашу допомогу абітурієнтам

    1. Доброго дня, відповідаю по порядку.
      1) У прямокутній системі координат задається дві осі – вертикальна – ОУ, горизонтальна – ОХ. Третю вісь ми вводимо саме на тригонометричному колі, причому початок відліку (О) визначаємо у точці перетину кола з віссю абсцис, вона має координату (1;0).
      2) Додатній напрямок на введеній осі координат, що лежить на колі, визначається проти годинникової стрілки від початкової точки на вісі абсцис.
      3) Півкола відповідають куту 180 градусів, або п радіан, відповідне повне коло – 2п радіан.
      4) -6) Що до цих питань, Ви маєте рацію, тут помилки, виправила, дякую=).
      7) Звичайно, можна дати і Ваш варіант.
      Ще раз дякую за підказку, інколи при наборі виникають помилки

    1. умова та розв’язання правильні. За умови заміни, яку Ви пропонуєте ми отримаємо іншу умову та відповідно інше розв’язання із врахуванням того, що tgx= sinx/cosx, a ctgx=cosx/sin x. Подивіться уважно.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься.

Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.