Тригонометричні функції числового аргументу

Для введення тригонометричних функцій числового аргументу розглянемо тригонометричне коло з радіусом 1 та центром у початку координат.  На колі задамо вісь координат, початок відліку її буде у точці (1;0), додатній напрямок визначатимемо проти годинникової стрілки. 

Будь-якій точці В(х;у) на колі буде відповідати деяке число α , що виражається у радіаннній мірі відповідного центрального кута α . 

Тригонометричні функції. Коло

1 радіан – центральний кут, що відповідає дузі, яка має довжину один радіус. Півкола дорівнює π, а повне коло – 2π.

Синусом числа α називається ордината точки В(х;у) одиничного кола :                                   sinα = y

Косинусом числа α називається абсциса точки В(х;у) одиничного кола :                                     cosα = x

Тангенсом числа α називається відношення ординати точки В(х;у) до її абсциси                   tg α= sinα/cosα

Котангенсом числа α називається відношення абсциси точки В(х;у) до її ординати   α:            ctg α= cosα/sinα

Основні тригонометричні тотожності:

Основні тригонометричні тотожності

Значення тригонометричних функцій для основних аргументів

Тригонометричні функції. Значення Наведемо декілька прикладів завдань

Завдання 1 (2010 р.)

Спростити вираз: (1– cos2x)tg2x.

(1– cos2x)tg2x = sin2x tg2x= sin4x/cos2x

Відповідь: sin4x/cos2x.

Завдання 2 (2008р)

(1+ tg2x) cos2x = cos2x+tg2x cos2x= cos2x +sin2x=1

Відповідь: 1.

Завдання 3 (2009 р.)

Обчисліть: cos x, якщо sin x=0,8, π/2 <x<π.

Розв’язання

sin x=0,8, cos2x +sin2x=1, отже cos2x=1- sin2x,

cos2x=1- 0,64, cos2x=0,36, cos x=0,6 або cos x=-0,6.

Оскільки аргумент належить другій чверті /2 <x<π), то  

cos x<0, cos x=-0,6.

Відповідь: cos x=-0,6.

Завдання 4 (2008р.)

Знайдіть значення виразу: (4 sin xcos x)/( cos x+4 sin x), якщо ctgx=1/3

Розв’язання

Поділимо чисельник і знаменник дробу на sin x. Оскільки ctgx=1/3, то sin x не приймає значення нуль.

Отримаємо: (4ctgx)/( ctgx +4)=11/3:13/3=11/13

Відповідь: 11/13

2 коментарі до “Тригонометричні функції числового аргументу”

  1. Шановна Математика абітурієнту ,
    У мене є деякі зауваження щодо статті Тригонометричні функції числового аргументу
    1) Чому початок відліку вісі координат буде мати (1;0) , а не просто 0(оскільки це вісь )
    2)Не зрозуміло , додатній напрямок чого визначатиметься проти годинникової стрілки
    3)Чому півкола -п, а повне коло -2п
    4)Чому ординату позначено через х, а абсцису через у, хоча на малюнку навпаки
    5) 1 приклад має правильне розв’язання щодо tg, а не ctg
    6)2 приклад щодо tg , а приклад з ctg
    7)Чи можна останній приклад розв’язати іншим способом :ctg=cos/sin=1/3, sin=3cos, а потім замінити всі синуси в прикладі на 3 cos , я отримала таку ж відповідь , як на сайті
    З повагою , спасибі за Вашу допомогу абітурієнтам

    1. Доброго дня, відповідаю по порядку.
      1) У прямокутній системі координат задається дві осі – вертикальна – ОУ, горизонтальна – ОХ. Третю вісь ми вводимо саме на тригонометричному колі, причому початок відліку (О) визначаємо у точці перетину кола з віссю абсцис, вона має координату (1;0).
      2) Додатній напрямок на введеній осі координат, що лежить на колі, визначається проти годинникової стрілки від початкової точки на вісі абсцис.
      3) Півкола відповідають куту 180 градусів, або п радіан, відповідне повне коло – 2п радіан.
      4) -6) Що до цих питань, Ви маєте рацію, тут помилки, виправила, дякую=).
      7) Звичайно, можна дати і Ваш варіант.
      Ще раз дякую за підказку, інколи при наборі виникають помилки

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.